Question

6．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=$\sqrt{6}$，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，AD=1，CD=3，PD=$\sqrt{3}$
（Ⅰ）證明：BC⊥PB；
（Ⅱ）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PD⊥平面ABC．AC邊上的中點(diǎn)為E，求出BE，連接BD，在Rt△BDE中，求解BD，通過BC²+BD²=CD²，證明BC⊥BD．BC⊥PD．推出BC⊥平面PBD．得到BC⊥PB．
（Ⅱ）過點(diǎn)A作平面PBC的垂線，垂足為H，連PH，則∠APH為直線AP與平面PBC所成的角．利用三棱錐A-PBC與三棱錐P-ABC的體積相等，求出AH．在Rt△PAD中，求出AP，即可求解直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC．
記AC邊上的中點(diǎn)為E，在△ABC中，因?yàn)锳B=BC，所以BE⊥AC．
因?yàn)锳B=BC=$\sqrt{6}$，AC=4，所以BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
連接BD，在Rt△BDE中，因?yàn)椤螧ED=90°，BE=$\sqrt{2}$，DE=1，
所以BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
在△DCB中，因?yàn)镃D=3，BC=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{3}$，
所以BC²+BD²=CD²，所以BC⊥BD．

因?yàn)镻D⊥平面AC，BC?平面ABC，
所以BC⊥PD．
因?yàn)锽D∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．
因?yàn)镻B?平面PBD，所以BC⊥PB．
（Ⅱ）解：過點(diǎn)A作平面PBC的垂線，垂足為H，連PH，
則∠APH為直線AP與平面PBC所成的角．
由（Ⅰ）知，△ABC的面積${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BE=2\sqrt{2}$．
因?yàn)镻D=$\sqrt{3}$，所以${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
由（Ⅰ）知△PBC為直角三角形，BC=$\sqrt{6}$，PB=$\sqrt{6}$，

所以△PBC的面積S_△PBC=$\frac{1}{2}×BC×PB$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}×\sqrt{6}$=3．
因?yàn)槿�棱錐A-PBC與三棱錐P-ABC的體積相等，
即$\frac{1}{3}×3×AH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以AH=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
在Rt△PAD中，因?yàn)镻D=$\sqrt{3}$，AD=1，
所以AP=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
因?yàn)閟in∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面市場(chǎng)價(jià)的求法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．