Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列
（Ⅰ）若a_n=3n+1，是否存在m，k∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若b_n=aqⁿ（a、q為常數(shù)，且aq≠0）對(duì)任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，試求a、q滿(mǎn)足的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，整理后，可得k-2m=

4

3

，由于m、k∈N，及k-2m為整數(shù)，即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和充要條件即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，整理后，可得k-2m=

4

3

，
∵m、k∈N，∴k-2m為整數(shù)，∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，則b₁•b₂=b_k，
∴a²•q³=aq^k，
∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整數(shù)．
反之當(dāng)a=q^c時(shí)，其中c是大于等于-2的整數(shù)，則bn=qn+c，
顯然bm•bm+1=qm+c•qm+1+c=q2m+1+2c=bk，其中k=2m+1+c．
∴a、q滿(mǎn)足的充要條件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、充要條件的判定，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．