Question

有2名老師，3名男生，4名女生照相留念，在下列情況中，各有多少種不同站法？
（1）男生必須站在一起；
（2）女生不能相鄰；
（3）老師必須坐在中間
（4）若4名女生身高都不等，從左到右女生必須由高到矮的順序站；
（5）老師不站兩端，男生必須站中間．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題

專題：排列組合

分析：（1）男生必須相鄰而站，把三個(gè)女生看做一個(gè)元素，則共有7個(gè)元素進(jìn)行全排列，再乘以還有女生內(nèi)部的一個(gè)排列．
（2）女生互不相鄰，應(yīng)采用女生插空法，首先要老師和男生先排列，形成6個(gè)空，再在這6個(gè)空中選4個(gè)排列女生．
（3）其中一位老師在正中間時(shí)，另一位老師和他相鄰，可以在左邊也可以在右邊，其他位置任意排，
（4）若4名女生身高都不等，從左到右女生必須由高到矮的順序站，則女生的順序只有一個(gè)，可以看做在9個(gè)位置上排列教師和男生就可以得到結(jié)果．
（5）中間的三個(gè)位置排列三個(gè)男生有A₃³種結(jié)果，在去掉兩端的四個(gè)位置上選兩個(gè)位置排列兩名教師有A₄²種結(jié)果，余下的四個(gè)位置把四名女生全排列，共有A₄⁴種結(jié)果，相乘得到結(jié)果．

解答： 解：（1）男生必須相鄰而站，把三個(gè)女生看做一個(gè)元素，則共有7個(gè)元素進(jìn)行全排列，再乘以還有女生內(nèi)部的一個(gè)排列共有A₇⁷•A₃³=30240，
（2）女生互不相鄰，應(yīng)采用女生插空法，首先要老師和男生先排列，形成6個(gè)空，再在這6個(gè)空中選4個(gè)排列女生．根據(jù)乘法原理得到共有A₅⁵•A₆⁴=43200，
（3）其中一位老師在正中間時(shí)，另一位老師和他相鄰，可以在左邊也可以在右邊，其他位置任意排，共有A₂¹•A₂¹•A₇⁷=20160，
（4）若4名女生身高都不等，從左到右女生必須由高到矮的順序站，則女生的順序只有一個(gè)，可以看做在9個(gè)位置上排列教師和男生就可以，共有A₉⁵=15120，
（5）老師不站兩端，男生必須站中間，則中間的三個(gè)位置排列三個(gè)男生有A₃³種結(jié)果，在去掉兩端的四個(gè)位置上選兩個(gè)位置排列兩名教師有A₄²種結(jié)果，余下的四個(gè)位置把四名女生全排列，共有A₄⁴種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有A₄²•A₄⁴•A₃³=1728．

點(diǎn)評：本題考查站隊(duì)問題，這是排列組合中的典型問題，要先排限制條件多的元素，把排列問題包含在實(shí)際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題是一個(gè)中檔題目．