Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-

3

cos2x+1，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求直線y=2+

2

與函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象在（-π，π）內(nèi)所有交點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，x∈[

π

4

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．
（2）由條件可得

m-3

2

＜sin（2x-

π

3

）＜

m+1

2

 在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，結(jié)合f（x）的值域可得 

m-3

2

＜

1

2

，且

m+1

2

＞1，由此求得實數(shù)m的取值范圍．
（3）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得y=g（x）=-2cos（2x-

π

3

）+1，再根據(jù)x∈（-π，π），可得 2x-

π

12

∈（-2π-

π

12

，2π-

π

12

）．由y=2+

2

=f（x）+g（x），求得cos（2x-

π

12

）=-1，求得x的值，可得直線y=2+

2

與函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象在（-π，π）內(nèi)所有交點的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]．∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，
∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

6

時，函數(shù)取得最小值為2，當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時，函數(shù)取得最大值為3．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，即

m-3

2

＜sin（2x-

π

3

）＜

m+1

2

 在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m-3

2

＜

1

2

，且

m+1

2

＞1，由此求得m＞1，或 m＜4，由此求得實數(shù)m的取值范圍為{m|m＞1，或 m＜4}．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，得到y(tǒng)=g（x）=2sin[2（x-

π

4

）-

π

3

]+1=2sin（2x-

π

2

-

π

3

）+1=-2cos（2x-

π

3

）+1 的圖象，
故y=f（x）+g（x）=2sin（2x-

π

3

）+1+-2cos（2x-

π

3

）+1=2+2

2

sin（2x-

π

3

-

π

4

）=2+2

2

sin（2x-

7π

12

）=2-2

2

cos（2x-

π

12

）．
再根據(jù)x∈（-π，π），可得 2x-

π

12

∈（-2π-

π

12

，2π-

π

12

）．
由y=2+

2

=f（x）+g（x），求得cos（2x-

π

12

）=-1，求得2x-

π

12

=-π 或2x-

π

12

=π，即x=-

11π

24

，或x=

13π

24

．
故直線y=2+

2

與函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象在（-π，π）內(nèi)所有交點的坐標(biāo)分別為（-

11π

24

，2+

2

），（

13π

24

，2+

2

）．

點評：本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．