Question

如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的兩個頂點C，D的坐標分別為（4，0），（0，3）．現(xiàn)有兩動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P沿線段AD以每秒1個單位的速度向終點D運動，點Q沿折線CBA以每秒2個單位的速度向終點A運動，設運動時間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長是

 

，面積是

 

；
（2）探究下列問題：
①當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
②在點P和點Q的運動過程中，△APQ能否成為等腰三角形，若能，請直接寫出t的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）已知C，D的坐標，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的長即菱形的邊長．菱形的面積就是4個Rt△COD的面積．
（2）求△APQ的面積關鍵是求出底邊AP上的高，過Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根據(jù)相似三角形△AQG和△ABE來求出QG的長，然后根據(jù)三角形的面積計算方法即可得出關于S，t的函數(shù)關系式．然后根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值，以及對應的t的值．

解答： 解：（1）∵菱形ABCD的兩個頂點C，D的坐標分別為（4，0），（0，3）．
∴|CD|=

32+42

=5，S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×6×8=24．
故答案為：5，24．
（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
作BE⊥AD，由

1

2

AD•BE=

1

2

BD•AO得BE=

24

5

，
過點Q作QG⊥AD，垂足為G，有QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

∴QG=

48

5

-

48t

25

，
∴S=

1

2

AP•QG=

24

25

t2+

24

5

t=

24

25

(t-

5

2

)2+6，
∴當t=

5

2

時，S的最大值為6．
②由AP=AQ得t=10-2t，
解得t=

10

3

．
故當t=

10

3

時，△APQ為等腰三角形．

點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是根據(jù)題意設出函數(shù)關系式，是難點，也是高考的重點，需熟練掌握．