Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=0，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=1，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角，做出向量$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$，則$\overrightarrow{c}$的終點C在以E為圓心，以1位半徑的圓上．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=0，∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即1+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為120°．
作向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，延長OB到D，使得$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow$．
以OA，OD為鄰邊做平行四邊形OAED，則$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$．設$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
∵|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=1，∴C在以E為圓心，以1位半徑的圓上．
∵|OA|=1，|AE|=2，∠OAE=60°，
∴|OE|=$\sqrt{3}$，
∴|OC|的最大值為$\sqrt{3}+1$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．