Question

15．若一個(gè)空間幾何體的三個(gè)視圖都是直角邊長為1的等腰直角三角形，則這個(gè)空間幾何體的外接球的表面積和內(nèi)切球的表面積之比是（　　）

• A． $\frac{18+9\sqrt{3}}{2}$
• B． 18+9$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出該幾何體是一個(gè)三棱錐，把此三棱錐補(bǔ)成正方體，求出它的外接球半徑R，
再利用等積法求出它的內(nèi)切球半徑r，即可計(jì)算該三棱錐外接球與內(nèi)切球的表面積比．

解答 解：由幾何體的三視圖知：該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，
且AB=AC=AD=1，AB，AC，AD兩兩垂直；
把此三棱錐補(bǔ)成正方體，則該三棱錐的外接球直徑為正方體的對(duì)角線，
即l=2R，∴外接球半徑為R=$\frac{l}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為r，
則三棱錐的體積為
$\frac{1}{3}$r（S_△ABC+S_△ABD+S_△ADC+S_△BCD）=V_{三棱錐D-ABC}，
即$\frac{1}{3}$r（$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1，
解得r=$\frac{1}{3+\sqrt{3}}$；
∴該三棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為
$\frac{4{πR}^{2}}{4{πr}^{2}}$=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$=$\frac{{（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}{{（\frac{1}{3+\sqrt{3}}）}^{2}}$=$\frac{18+9\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的三視圖、正方體外接球與內(nèi)切球的表面積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．