Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，$\sqrt{3}$），離心率為$\frac{1}{2}$，左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
（I
Ⅰ）求橢圓的方程     
（Ⅱ）若直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+m與橢圓交于A，B兩點，與以$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）為直徑的圓交于F₁，F(xiàn)₂兩點，且滿足D，求直線DF₁⊥F₁F₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓得定義，離心率得定義，構(gòu)造方程組，解得即可；
（Ⅱ）由題意可得F₁F₂為直徑得圓的方程為x²+y²=1，得到圓心到直線的l的距離為d，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理和弦長公式求出|AB|的長，即可求出m的值，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓得方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
（Ⅱ）由題意可得F₁F₂為直徑得圓的方程為x²+y²=1，
∴圓心到直線的l的距離為d=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$，
由d＜1，即$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$＜1，可得|m|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴|CD|=2$\sqrt{1-rcvai7u^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{4{m}^{2}}{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$$\sqrt{5-4{m}^{2}}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得x²-mx+m²-3=0，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=m²-3，
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{2}）^{2}}$$\sqrt{{m}^{2}-4（{m}^{2}-3）}$$\frac{\sqrt{15}}{2}\sqrt{4-{m}^{2}}$
∵$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{\sqrt{5-4{m}^{2}}}$=1，
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且滿足|m|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直線l的方程為y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓得標準方程，弦長公式，點到直線距離公式，考查了學生得轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于中檔題．