Question

6．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB，點M是PB的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥平面PDC
（Ⅱ）求證：平面PDC⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點N，連接MN，ND，可證MN$∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$，又AD=$\frac{1}{2}BC$，即可得AM∥ND，又AM?平面PDC，DN?平面PDC，即可證明AM∥平面PDC．
（Ⅱ）由已知可證BC⊥AM，由PA=AB，且M是PB的中點，可證AM⊥PB，由AM⊥平面PBC，且AM∥DN，可證DN⊥平面PBC，從而可證平面PDC⊥平面PBC．

解答 證明：（Ⅰ）取PC的中點N，連接MN，ND，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=PA，∴BD=$\sqrt{2}$，∠ABD=45°，
又∠ABC=90°，∴∠DBC=45°，又∠BDC=90°，∴BC=2…2分
∵M，N分別是PB，PC的中點，∴MN$∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$，
又∵AD=$\frac{1}{2}BC$，∴MN∥AD，MN=AD，…4分
∴AM∥ND，
又∵AM?平面PDC，DN?平面PDC，∴AM∥平面PDC…5分
（Ⅱ）∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，交線為AB，在底面ABCD中，BC⊥AB，
∴BC⊥側(cè)面PAB，又AM?側(cè)面PAB，
∴BC⊥AM…8分
在△PAB中，PA=AB，且M是PB的中點，∴AM⊥PB，
又PB，BC?平面PBC，且PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC…10分
由（Ⅰ）知AM∥DN，∴DN⊥平面PBC，
又DN?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PBC…12分

點評 本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力、推論論證能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．