Question

18．已知底面為正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分別是A₁B₁，AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB邊上的點(diǎn)，且FB=3AF，連接EF、DB、C₁B、C₁D．
（Ⅰ）求證：平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在線段AC上，是否存在一點(diǎn)M，使得平面FEM∥平面BC₁D，若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M的位置，并證明平面FEM∥平面BC₁D，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可證明C₁D⊥A₁B₁，又平面ABB₁A₁∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，可證C₁D⊥平面ABB₁A₁，即可證明平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，連接CO，DO，取AC中點(diǎn)M，連接EM，MF，可證四邊形C₁DOC為平面四邊形，F(xiàn)為線段AO中點(diǎn)，可證MF∥C₁D，有MF∥平面BC₁D，連接A₁O，同理可得EF∥平面BC₁D，由EF∩MF=F，EF?平面FEM，F(xiàn)M?平面FEM，即可證明平面FEM∥平面BC₁D．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，…1分
因?yàn)椤鰽₁B₁C₁為等邊三角形，且D為A₁B₁的中點(diǎn)，故C₁D⊥A₁B₁，…3分
因?yàn)槠矫鍭BB₁A₁∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，故C₁D⊥平面ABB₁A₁，…5分
因?yàn)镃₁D?平面BC₁D，故平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁…6分
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，平面FEM∥平面BC₁D…7分
如圖，取AB中點(diǎn)O，連接CO，DO，取AC中點(diǎn)M，連接EM，MF，
由三棱柱性質(zhì)可知，四邊形C₁DOC為平面四邊形，
因?yàn)镕B=3AF，且O為線段AB中點(diǎn)，故F為線段AO中點(diǎn)，
又M為線段AC中點(diǎn)，故MF∥CO，又C₁D∥CO，故MF∥C₁D，
因?yàn)镸F?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，故MF∥平面BC₁D，…10分
連接A₁O，同理可得EF∥平面BC₁D…11分
因?yàn)镋F∩MF=F，EF?平面FEM，F(xiàn)M?平面FEM，
故平面FEM∥平面BC₁D…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，空間想象能力和推論論證能力，屬于中檔題．