【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點與上頂點分別為，橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，若直線與該橢圓交于兩點，直線的斜率互為相反數(shù).

①求證：直線的斜率為定值；

②若點在第一象限，設(shè)與的面積分別為，求的最大值.

【答案】(1) (2) ①見解析，②

【解析】試題分析：（1）通過將點代入橢圓方程，結(jié)合離心率為計算即得結(jié)論；

（2）通過（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通過設(shè)直線的方程為，則由題意直線的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，計算可知P、Q，利用斜率計算公式計算即可；②通過①可知P、Q，利用點P在第一象限可知，分別計算出點P、Q到直線AB的距離，利用三角形面積公式計算、結(jié)合基本不等式化簡即得結(jié)論．

試題解析：

（1）由題意，離心率，所以，所以，

故橢圓的方程為，將點代入，求得，

所以橢圓的標準方程為；

（2）①設(shè)直線的方程為，則由題意直線的方程為，

由，得，

所以點的坐標為，

同理可求得點的坐標為.

所以直線的斜率為.

②設(shè)兩點到直線的距離分別為，

因為點在第一象限，則點必在第三象限，

所以，且點分別在直線的上、下兩側(cè)，

所以，

從而，

，

所以，

令，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時， 有最大值為.

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【題目】已知函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時，取得最大值3.

（1）求的解析式及單調(diào)增區(qū)間；

（2）若，且，求；

（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且是偶函數(shù)，求m的最小值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形， ， 底面， 為直線上一動點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若， 分別為線段， 的中點，求證： 平面；

（Ⅲ）直線上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，則異面直線EF與BC所成角大小為 ．

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【題目】袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個，已知從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是.

(1)求n的值；

(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個球，記第一次取出小球標號為a，第二次取出的小球標號為b.①記“a＋b＝2”為事件A，求事件A的概率；

②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個實數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．

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【題目】隨機抽取某高中甲、乙兩個班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．

(1)甲班和乙班同學(xué)身高的中位數(shù)各是多少？并計算甲班樣本的方差．

(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取2名身高不低于173 cm的同學(xué)，求身高為176 cm的同學(xué)被抽中的概率．

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【題目】若a和b是計算機在區(qū)間（0，2）上產(chǎn)生的均勻隨機數(shù)，則一元二次不等式ax2+4x+4b＞0（a＞0）的解集不是R的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖，在四棱錐中， 、、均為等邊三角形， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0）的最小正周期為π，給出下列四個命題：
①f（x）的最大值為3；
②將f（x）的圖象向左平移 后所得的函數(shù)是偶函數(shù)；
③f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調(diào)遞增；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對稱．
其中正確說法的序號是（ ）
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④

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