Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的菱形，且∠BAD=60°，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=$\sqrt{3}$，求三棱錐C-PBD的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）底面ABCD是邊長為1的菱形，可得AC⊥BD，利用PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，即可證明BD⊥平面PAC，進而證明平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求出三棱錐P-BCD的體積，利用等體積，求三棱錐C-PBD的高．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．…（3分）
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC…（4分）
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）解：由$PA=\sqrt{3}$易得PB=PD=2，
∵ABCD是邊長為1的菱形，且∠BAD=60°∴BD=1…（7分）
連PO，求得$PO=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$…（8分）
∴${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}×BD×PO=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{15}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$…（9分）
三棱錐P-BCD的體積${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}×{S_{△BCD}}×PA=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{1}{4}$…（10分）
設(shè)三棱錐C-PBD的高為h
則${V_{C-PBD}}={V_{P-BCD}}=\frac{1}{4}$，于是$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}×h=\frac{1}{4}$…（11分）
∴$h=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、線面垂直與面面垂直的判定性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了了推理能力與計算能力，屬于中檔題．