Question

4．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥3}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤3}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a＞0，b＞0）的最大值為10，則5a+4b的最小值為8．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求5a+4b的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當y=$-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（4，5）．
此時z=$\frac{4}{a}$+$\frac{5}$=10，
即$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$=1，
則5a+4b=（5a+4b）（$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$）=2+2+$\frac{8b}{5a}$+$\frac{5a}{2b}$≥4+2$\sqrt{\frac{8b}{5a}•\frac{5a}{2b}}$=4+4=8，
當且僅當$\frac{8b}{5a}$=$\frac{5a}{2b}$，即4b=5a時，取等號，
故5a+4b的最小值為8，
故答案為：8；

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．