Question

17．甲、乙兩人組成“火星隊(duì)”參加投籃游戲，每輪游戲中甲、乙各投一次，如果兩人都投中，則“火星隊(duì)”得4分；如果只有一人投中，則“火星隊(duì)”得2分；如果兩人都沒投中，則“火星隊(duì)”得0分．已知甲每次投中的概率為$\frac{4}{5}$，乙每次投中的概率為$\frac{3}{4}$；每輪游戲中甲、乙投中與否互不影響，假設(shè)“火星隊(duì)”參加兩輪游戲，求：
（I）“火星隊(duì)”至少投中3個(gè)球的概率；
（II）“火星隊(duì)”兩輪游戲得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）分別計(jì)算至少投進(jìn)3球所對(duì)應(yīng)的4中情況的概率，再相加即可；
（II）計(jì)算所有可能的得分情況的概率，列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A_i為“甲第i次投中”，事件B_i為“乙第i次投中”，
∴$P（至少投進(jìn)3球）=P（{A_1}{A_2}{B_1}{B_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}{B_1}{B_2}）+P（{A_1}\overline{A_2}{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{A_2}\overline{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{A_2}{B_1}{\overline B_2}）$=$\frac{4}{5}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{3}{4}+2•（\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{3}{4}+\frac{4}{5}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{3}{4}）=\frac{39}{50}$．
答：“火星隊(duì)”至少投中3個(gè)球的概率為$\frac{39}{50}$．
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，2，4，6，8．
$P（X=0）=\frac{1}{4}•\frac{1}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}=\frac{1}{400}$，$P（X=2）=2•（\frac{3}{4}•\frac{1}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}）=\frac{14}{400}=\frac{7}{200}$，$P（X=4）=2•（\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}）+\frac{3}{4}•\frac{1}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}+\frac{1}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{4}{5}=\frac{73}{400}$$P（X=6）=2•（\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{1}{5}+\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{1}{4}•\frac{4}{5}）=\frac{168}{400}=\frac{21}{50}$，$P（X=8）=\frac{3}{4}•\frac{4}{5}•\frac{3}{4}•\frac{4}{5}=\frac{144}{400}=\frac{9}{25}$．
∴X的分布列為

X	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{400}$	$\frac{7}{200}$	$\frac{73}{400}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{9}{25}$

$EX=0×\frac{1}{400}+2×\frac{14}{400}+4×\frac{73}{400}+6×\frac{168}{400}+8×\frac{144}{400}=\frac{31}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，離散變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．