Question

12．已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax²-2bx-a+b的定義域為[0，1]．
（1）當a=1時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求b的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）的最大值和最小值分別為M和m，求證：M+m＞0．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜$\frac{4}$＜1，解不等式即可得到所求范圍；
（2）求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，可得最值，即可證明M+m＞0．

解答 解：（1）由題意可得f（x）=4x²-2bx-1+b在[0，1]內(nèi)有兩個不同的零點，
即有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b-1≥0}\\{f（1）=3-b≥0}\\{△=4^{2}-16（b-1）＞0}\\{0＜\frac{4}＜1}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{b≤3}\\{b≠2}\\{0＜b＜4}\end{array}\right.$，
解得1≤b＜2或2＜b≤3；
（2）證明：f（x）的對稱軸為x=$\frac{4a}$，
當$\frac{4a}$＞1時，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，可得M=f（0）=b-a，
m=f（1）=3a-b，則M+m=2a＞0；
當$\frac{4a}$＜0時，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，可得m=f（0）=b-a，
M=f（1）=3a-b，則M+m=2a＞0；
當0≤$\frac{4a}$≤1時，區(qū)間[0，$\frac{4a}$]為減區(qū)間，[$\frac{4a}$，1]為增區(qū)間，
可得m=f（$\frac{4a}$）=$\frac{4ab-4{a}^{2}-^{2}}{4a}$，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a-b，
M+m=$\frac{8{a}^{2}-^{2}}{4a}$≥$\frac{8{a}^{2}-4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b-a，
M+m=$\frac{8ab-8{a}^{2}-^{2}}{4a}$=$\frac{-（b-4a）^{2}+8{a}^{2}}{4a}$，
由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即為M+m＞0．
綜上可得M+m＞0恒成立．

點評 本題考查函數(shù)的零點問題的解法，注意運用二次函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．