Question

3．設函數(shù)f（x）=e^x-2ax-1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意正實數(shù)x，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，通過a的范圍，確定函數(shù)的單調區(qū)間，結合f（0）=0，從而求出滿足條件的a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-2ax-1，f′（x）=f（x）=e^x-2a，
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
若a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2a，
∴f（x）在（-∞，ln2a）遞減，在（ln2a，+∞）遞增；
（Ⅱ）f（x）=e^x-2ax-1，f′（x）=f（x）=e^x-2a，
（i）若a≤$\frac{1}{2}$，則x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）遞增，又f（0）=0，
從而當x＞0時，f（x）＞0恒成立，
故a≤$\frac{1}{2}$符合題意；
（ii）若a＞$\frac{1}{2}$，則x∈（0，ln2a）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（ln2a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，而f（0）=0，
從而當x∈（0，ln2a）時，f（x）＜0，
故a＞$\frac{1}{2}$不合題意，
綜上，a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．