Question

8．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f（x）≥M成立，則稱f（x）是D上的有下界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個下界．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}+\frac{a}{{e}^{x}}$（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[lna，+∞）上所有下界構(gòu)成的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出a的值即可；
（2）通過定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[lna，+∞）上是增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，從而求出滿足條件的集合即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}+\frac{a}{{e}^{x}}$（a＞0）是R上的偶函數(shù)，f（-x）=f（x），
即$\frac{1}{a}$（e^x-e^-x）=a（$\frac{1}{{e}^{-x}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$）=a（e^x-e^-x）在R恒成立，
∴$\frac{1}{a}$=a，解得：a=1，（a＞0），
（2）在[lna，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a}$（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）-a$\frac{{e}^{{x}_{1}}{-e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}{•e}^{{x}_{2}}}$=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）•$（\frac{{e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}{-a}^{2}}{a{•e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}）$，
∵y=e^x是增函數(shù)，lna≤x₁＜x₂，
∴${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，∴x₁+x₂＞2lna=lna²，
∴${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$＞${e}^{l{na}^{2}}$=a²，∴${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$-a²＞0，
∵a•${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[lna，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（lna）=$\frac{{e}^{lna}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{lna}}$=2，
∴函數(shù)f（x）在[lna，+∞）上所有下界構(gòu)成的集合是（-∞，2]．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查函數(shù)單調(diào)性的定義的應用，是一道中檔題．