Question

18．若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x∈[1，3]，不等式mx+$\frac{4m}{x}$-2＜0恒成立，則m的取值范圍是（-∞，$\frac{2}{5}$）．

Answer 1

分析 由題意把不等式變形，得到mx²-2x+4m＜0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x∈[1，3]恒成立，然后對(duì)m分類求解．

解答 解：由mx+$\frac{4m}{x}$-2＜0（x∈[1，3]），得mx²-2x+4m＜0，
當(dāng)m=0時(shí)，不等式化為-2x＜0，在x∈[1，3]上恒成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，要使mx²-2x+4m＜0在x∈[1，3]上恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-2+4m＜0}\\{9m-6+4m＜0}\end{array}\right.$，解得m＜$\frac{2}{5}$，∴0$＜m＜\frac{2}{5}$；
當(dāng)m＜0時(shí)，對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{m}＜0$，要使mx²-2x+4m＜0在x∈[1，3]上恒成立，
只需m-2+4m＜0，即m$＜\frac{2}{5}$，∴m＜0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，$\frac{2}{5}$）．
故答案為：（-∞，$\frac{2}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題．是中檔題．