Question

2．已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，如圖所示，
（1）求證AF⊥BC
（2）求線段AF的長．

Answer 1

分析 （1）以AB、AC和AD為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得出A、B、C、D以及E、F的坐標(biāo)，
利用坐標(biāo)表示$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{BC}$，證明$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BC}$即可；
（2）由$\overrightarrow{AF}$求模長|$\overrightarrow{AF}$|即可．

解答 解：（1）分別以AB、AC和AD為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
如圖所示：

記A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），
∴E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，1）；
∴$\overrightarrow{AF}$（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}$×（-1）+$\frac{1}{4}$×1+1×0=0，
∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即AF⊥BC；
（2）∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，1），
∴|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{{（\frac{1}{4}）}^{2}{+（\frac{1}{4}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
即線段AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解答問題，是基礎(chǔ)題目．