7．將邊長為2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿對角線AC折起，使得半平面ACD與半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的兩面角，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個命題：
①不論θ取何值，總有AC⊥BD；
②當θ=90°時，△BCD是等邊三角形；
③當θ=60°時，三棱錐D-ABC的體積是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
其中正確的命題的序號是①②③．（把你認為正確的序號都填上）

分析 通過證明AC⊥平面BOD，證明AC⊥BD，可得①正確；
過D作DO⊥AC于O，連接BO，利用勾股定理求得BD長，可得②正確；
利用棱錐的體積公式計算三棱錐的體積，可得③正確．

解答 解：過D作DO⊥AC于O，連接BO，由題意知：BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，
∴BD=1，即△BCD為等邊三角形，②正確；
∵O為AC的中點，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，①正確；
∵VD-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴③正確；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)及異面直線所成角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與計算能力．

練習(xí)冊系列答案
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7．已知橢圓C的中心是坐標原點O，長軸在x軸上，且經(jīng)過點$（1，\frac{3}{2}）$．C上任意一點到兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知M，N是橢圓上的兩點，且OM⊥ON，求證：$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$為定值．

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（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
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（1）求證AF⊥BC
（2）求線段AF的長．

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12．四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列
結(jié)論中正確的序號是②③
①A′C⊥BD          
②CA′與平面A′BD所成的角為45°
③BA′⊥面A′CD
④四面體A′-BCD的體積為$\frac{1}{3}$．

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19．如圖，P是平面ABCD外的一點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PA=2，M、N分別為AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q點．
（1）證明：PD⊥平面MNQ；
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16．在△ABC中，D是AB的中點，CD=5，AB=12，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-11．

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17．若x，y都是銳角，且sinx=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}，tany=\frac{1}{3}$，則x+y=$\frac{π}{4}$．

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