Question

19．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}}$），對任意x都有f（x）≤f（$\frac{π}{6}}$）=2，則g（x）=Acos（2x+ϕ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值的乘積為（　　）

• A． $-2\sqrt{3}$
• B． $-\sqrt{3}$
• C． -1
• D． 0

Answer 1

分析 求出f（x）的表達式，從而求出g（x）的表達式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的最大值和最小值即可，從而求出其乘積即可．

解答 解：f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}}$），
若對任意x都有f（x）≤f（$\frac{π}{6}}$）=2，
則A=2，f（$\frac{π}{6}$）=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，g（x）最大，最大值是$\sqrt{3}$，
2x+$\frac{π}{6}$=π時，g（x）最小，最小值是-2，
故g（x）_max•g（x）_min=-2$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題考查了三角函數(shù)的表達式、最值問題，是一道中檔題．