Question

10．不等式ax²-2x+1＞0對(duì)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，問題得以解決．

解答 解：∵ax²-2x+1＞0對(duì)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)f（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2}{{x}^{3}}$（-x+1），
令f′（x）＞0，解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞增，
f′（x）＜0，解得x＞1，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{2}{1}$-1=1，
∴a＞1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．