Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-3，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{T}_{n}}{n}$+1且b₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和P_n；
（3）數(shù)列{S_n}中是否存在不同的三項(xiàng)S_p，S_q，S_r，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出p，q，r的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$得出{a_n}為等比數(shù)列，由{$\frac{{T}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列求出{$\frac{{T}_{n}}{n}$}的通項(xiàng)公式，再得出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）使用錯(cuò)位相減法求和；
（3）假設(shè)存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出矛盾．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3a_n-3）-（3a_n-1-3），
∴a_n=3a_n-1．
∴{a_n}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=3ⁿ．
∵$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{T}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{T}_{n}}{n}$=1，
∴{$\frac{{T}_{n}}{n}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{T}_{n}}{n}$=n．即T_n=n²．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，上式仍成立，
∴b_n=2n-1．
（2）由（1）知c_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$．
∴P_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+$\frac{7}{{3}^{4}}$…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$．①
∴$\frac{1}{3}$P_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{5}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$．②
①-②得：$\frac{2}{3}$P_n=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+2•$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$．
∴P_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．
（3）由（1）知{a_n}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
假設(shè)數(shù)列{S_n}中存在不同的三項(xiàng)S_p，S_q，S_r，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，
∴S_p+S_r=2S_q．即$\frac{{3}^{P+1}-3}{2}$+$\frac{{3}^{r+1}-3}{2}$=3^q+1-3．
∴$\frac{{3}^{p+1}+{3}^{r+1}}{2}={3}^{q+1}$．即3^p+3^r=2•3^q．
∴3^p-q+3^r-q=2，
∵p，q，r互不相同，不妨設(shè)p＜q＜r，
則r-q≥1，
∴3^p-q+3^r-q≥3≠2，與3^p-q+3^r-q=2矛盾，
∴數(shù)列{S_n}中不存在不同的三項(xiàng)S_p，S_q，S_r，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差，等比關(guān)系的確定，等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，屬于中檔題．