Question

13．已知二次函數f（x）=x²+2x-1
（1）若奇函數h（x）的定義域和值域都是區(qū)間[-k，k]，且x∈[-k，0]，h（x）=-f（x）-1，求k的值；
（2）設函數g（x）=log_t[f（x）-（t+2）x+2]，其中0＜t＜2且t≠1．求證：恒存在實數p，q，r∈[0，1]，使得g（p）+g（q）＜g（r）成立．

Answer 1

分析 （1）由奇函數的定義可得h（x）的解析式，由于奇函數h（x）的定義域和值域都是區(qū)間[-k，k]，則可令h（x）=±x，解得k=1和3，再加以檢驗即可得到k的值；
（2）運用對數函數的運算性質和單調性，結合題意，討論0＜t＜1和1＜t＜2時，舉出p，q，r的數值，即可判斷是否存在．

解答 （1）解：x∈[-k，0]，h（x）=-f（x）-1=-x²-2x，
令x∈[0，k]，-x∈[-k，0]，h（-x）=-x²+2x，
由奇函數h（x）可得h（-x）=-h（x），
即有h（x）=x²-2x（0≤x≤k），
綜上可得，h（x）=x|x|-2x（-k≤x≤k），
由于奇函數h（x）的定義域和值域都是區(qū)間[-k，k]，
則可令h（x）=±x，
由x|x|-2x=x，解得x=3（0舍去）；
由x|x|-2x=-x，解得x=1（0舍去）．
當k=1時，即有定義域和值域為[-1，1]，
由y=x²-2x（0≤x≤1）可得值域為[-1，0]；
由y=-x²-2x（-1≤x≤0）可得值域為[0，1]，
則有h（x）的值域為[-1，1]；
當k=3時，即有定義域和值域為[-3，3]，
由y=x²-2x（0≤x≤3）可得值域為[-1，3]；
由y=-x²-2x（-3≤x≤0）可得值域為[-3，1]，
則有h（x）的值域為[-3，3]；
綜上可得，k=1或3；
（2）證明：函數g（x）=log_t[f（x）-（t+2）x+2]
=log_t（x²-tx+1）（0＜t＜2且t≠1），
由g（p）+g（q）＜g（r）即為
log_t（p²-tp+1）+log_t（q²-tq+1）＜log_t（r²-tr+1），
即為log_t[（p²-tp+1）（q²-tq+1）]＜log_t（r²-tr+1），
當1＜t＜2時，有（p²-tp+1）（q²-tq+1）＜r²-tr+1，
即為（p²-p+1）（q²-q+1）＜r²-r+1，且（p²-2p+1）（q²-2q+1）＜r²-2r+1，
存在p=q=r=$\frac{1}{2}$，成立；
同樣當0＜t＜1時，存在p=q=$\frac{1}{2}$，r=$\frac{7}{8}$使得g（p）+g（q）＜g（r）成立．
故有恒存在實數p，q，r∈[0，1]，使得g（p）+g（q）＜g（r）成立．

點評 本題考查函數的性質和運用，主要考查函數的奇偶性和值域的求法，同時考查存在性命題的證明，注意運用列舉法的運用，屬于中檔題和易錯題．