Question

13．已知關(guān)于x的不等式|xlnx|≤-2x²+cx-$\frac{1}{2}$有解，則正整數(shù)c的最小值為3．

Answer 1

分析 由于x＞0，則原不等式即為|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$≤c，令f（x）=|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$，討論x≥1，x＜1去絕對(duì)值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求得最小值，再由c為正整數(shù)，即可得到最小值c=3．

解答 解：由于x＞0，則不等式|xlnx|≤-2x²+cx-$\frac{1}{2}$即為
|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$≤c，
令f（x）=|lnx|+2x+$\frac{1}{2x}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$+2x，
由于f′（x）=$\frac{1}{x}$+2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0，
則f（x）在[1，+∞）遞增，
則有f（1）為最小值$\frac{5}{2}$；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=-lnx+2x+$\frac{1}{2x}$，
由于f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-2x-1}{2{x}^{2}}$，
令f（x）=0，解得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$（$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$舍去），
當(dāng)0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則有x=$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$處f（x）取得極小值，也為最小值，
由于2＜-ln$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$+$\sqrt{5}$＜3，且c為正整數(shù)，即有c≥3，
則正整數(shù)c的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式有解的條件，主要考查參數(shù)分離和函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．