Question

17．某校要求學生在高中三年級選修3門課程，其中1門人文科學，2門自然科學，已知某學生通過人文科學課程的概率是$\frac{4}{5}$，通過自然科學課程的概率是$\frac{3}{4}$，且各門課程通過與否相互獨立．
（Ⅰ）求該學生只通過人文科學課程但沒有通過自然科學課程的概率；
（Ⅱ）用ξ表示該學生所選的3門課程通過的門數，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）記“該同學只通過人文科學課程并沒有通過自然科學課程“為事件A，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出該同學只通過人文科學課程沒有通過自然科學課程的概率．
（Ⅱ）隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答 解：（1）記“該同學只通過人文科學課程并沒有通過自然科學課程“為事件A，則 $P（A）=\frac{4}{5}×{（1-\frac{3}{4}）^2}=\frac{1}{20}$，
所以該同學只通過人文科學課程沒有通過自然科學課程的概率為$\frac{1}{20}$．…（4分）
（Ⅱ）隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
則$P（{ξ=0}）=（{1-\frac{4}{5}}）×{（{1-\frac{3}{4}}）^2}=\frac{1}{80}$，
$P（{ξ=1}）=\frac{4}{5}×{（{1-\frac{3}{4}}）^2}+（{1-\frac{4}{5}}）×C_2^1×（{1-\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{4}{5}×C_2^1×（{1-\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}+（{1-\frac{4}{5}}）×{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{33}{80}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{4}{5}×{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{9}{20}$，…（9分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{80}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{33}{80}$	$\frac{9}{20}$

…（10分）
所以$E（ξ）=0×\frac{1}{80}+1×\frac{1}{8}+2×\frac{33}{80}+3×\frac{9}{20}=\frac{23}{10}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．