Question

18．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{9}{x}$
（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在（0，3]上單調(diào)遞減．
（2）求函數(shù)在[1，2]上的值域．
（3）判斷函數(shù)的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)的值域；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明即可．

解答 （1）證明：設(shè) 0＜x₁＜x₂＜3，則 f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{9}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{9}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）-$\frac{9{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂） （1-$\frac{9}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-$\frac{9}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
∴（x₁-x₂） （1-$\frac{9}{{{x}_{1}x}_{2}}$）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)在（0，3）上單調(diào)遞減．
（2）解：由（1）得：f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_最小值=f（2）=$\frac{13}{2}$，f（x）_最大值=f（1）=1+9=10，
故函數(shù)在[1，2]上的值域是：[$\frac{13}{2}$，10]．
 （3）證明：∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$，x≠0 滿足
∴對任意的非零實數(shù)x，都有 f（-x）=-x+$\frac{9}{-x}$=-（x+$\frac{9}{x}$）=-f（x），
函數(shù)f（x），x≠0是奇函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查函數(shù)的值域問題，考查函數(shù)的奇偶性，是一道中檔題．