16.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ,直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.

分析 (1)直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t,能求出直線l的普通方程;曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ2=4ρsinθ,能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程.
(2)在曲線C上任取一點(diǎn)P(2cosθ,2+2sinθ),利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)性質(zhì)能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值.

解答 (10分)
解:(1)∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
∴直線l消去參數(shù)t得:$\sqrt{3}x-y=-6$,
∴直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y+6=0$,(2分)
∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.(5分)
(2)在曲線C上任取一點(diǎn)P,可設(shè)其坐標(biāo)為P(2cosθ,2+2sinθ),(7分)
P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2+6|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|4cos(θ+\frac{π}{6})+4|}{2}$=2cos($θ+\frac{π}{6}$)+2≤4,(9分)
當(dāng)且僅當(dāng)$θ=-\frac{π}{6}$+2kπ(k∈Z)時(shí)等號(hào)成立,
曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為4.(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法,考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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