Question

13．對于任意實數(shù)a，b，定義max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，已知在[-2，2]上的偶函數(shù)f（x）滿足當0≤x≤2時，f（x）=max{2^x-1，2-x}若方程f（x）-mx+1=0恰有兩個根，則m的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，-eln2）∪（eln2，2]
• B． [-eln2，0）∪（0，eln2]
• C． [-2，0）∪（0，2]
• D． [-e，-2）∪（2，e]

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出當0≤x≤2時，函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在[-2，2]上解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的相交問題，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率進行求解即可．

解答 解：當1≤x≤2時，2^x-1＞2-x，此時f（x）=2^x-1，
當0≤x≤1時，2^x-1＜2-x，此時f（x）=2-x，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，}&{0≤x＜1}\\{{2}^{x}-1，}&{1≤x≤2}\end{array}\right.$，
若-2≤x≤-1，則1≤-x≤2，此時f（-x）=2^-x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=2^-x-1，-2≤x≤-1．
若-1≤x≤0，則0≤-x≤1，此時f（-x）=2-x，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=2-x，-1≤x≤0．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由f（x）-mx+1=0得f（x）=mx-1，
設g（x）=mx-1，
則當m=0時，f（x）與g（x）沒有交點，此時不滿足條件．
當m＞0時，當x=1，f（1）=1，當x=2時，f（2）=3，
當直線經(jīng)過A（1，1）時，此時m-1=1，則m=2，此時g（x）=2x-1，
g（2）=3，即直線g（x）=2x-1經(jīng)過A，C點，此時兩個曲線有兩個交點，滿足條件，
當直線y=mx-1與f（x）=2^x-1相切時，
設切點為（k，n），
則f′（k）=2^kln2，且2^k-1=n，
則切線方程為y-n=2^kln2（x-k），
即y=（2^kln2）x-k2^kln2+2^k-1，
即2^kln2=m，且-k2^kln2+2^k-1=-1，
即2^kln2=m，且-k2^kln2+2^k=0，
2^kln2=m，且-kln2+1=0，
即kln2=1，解得k=$\frac{1}{ln2}$=log₂e，
則m=${2}^{lo{g}_{2}e}ln2$=eln2，
此時直線和f（x）只有一個交點，
若時兩個曲線有兩個交點，則eln2＜m≤2，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性知當m＜0時，-2≤m＜eln2，
綜上m的取值范圍是[-2，-eln2）∪（eln2，2]，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)的交點問題，借助導數(shù)求出切線的斜率是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．