Question

5．已知雙曲線C：3x²-y²=1．
（1）若直線1：y=ax+1與雙曲線C相交于A、B兩點，求實數a的取值范圍；
（2）求以雙曲線C的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用二次項非0，且判別式大于0求得a的范圍．
（2）求出雙曲線C的右焦點為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），雙曲線的漸近線方程，可得圓的半徑，即可求出圓的方程．

解答 解：（1）直線1：y=ax+1與雙曲線C，得（3-a²）x²-2ax-2=0
∵直線l與曲線C有兩個交點A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{2}-4（3-{a}^{2}）×（-2）＞0}\end{array}\right.$．           
∴實數a的取值范圍是-$\sqrt{6}$＜a＜$\sqrt{6}$且a$≠±\sqrt{3}$；
（2）雙曲線C的右焦點為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
圓心到雙曲線的漸近線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{3+1}}$=1，
∴以雙曲線C的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓C₁的方程為（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+y²=1．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與雙曲線的位置關系．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．