Question

5．已知雙曲線(xiàn)C：3x²-y²=1．
（1）若直線(xiàn)1：y=ax+1與雙曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求以雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為圓心且與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切的圓C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）把直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，利用二次項(xiàng)非0，且判別式大于0求得a的范圍．
（2）求出雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，可得圓的半徑，即可求出圓的方程．

解答 解：（1）直線(xiàn)1：y=ax+1與雙曲線(xiàn)C，得（3-a²）x²-2ax-2=0
∵直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{2}-4（3-{a}^{2}）×（-2）＞0}\end{array}\right.$．           
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-$\sqrt{6}$＜a＜$\sqrt{6}$且a$≠±\sqrt{3}$；
（2）雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\sqrt{3}$x，
圓心到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離d=$\frac{2}{\sqrt{3+1}}$=1，
∴以雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為圓心且與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切的圓C₁的方程為（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和推理的能力，基本的運(yùn)算能力．