Question

5．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3是偶函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)（2，7），g（x）=x+4且F（x）=f（2^x）+g（2^x+1）
（1）求F（x）的值域；
（2）是否對(duì)任意x∈R，都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立？若成立，求出m的范圍；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3是偶函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)（2，7），可得函數(shù)解析式，進(jìn)而得到F（x）的解析式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得F（x）的值域；
（2）假設(shè)對(duì)任意x∈R，都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到矛盾，可得假設(shè)不成立．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即ax²-bx+3=ax²+bx+3恒成立，
解得：b=0，
又由函數(shù)過(guò)點(diǎn)（2，7），故4a+3=7m
∴a=1，
∴f（x）=x²+3，
故F（x）=2^2x+2^x+1+7=（2x）²+2•2^x+7，
令2^x=t，則t＞0，故F（t）=t²+2t+7=（t+1）²+6，
當(dāng)t＞0時(shí)F（t）＞7，
∴F（x）的值域是（7，+∞）．
（2）∵f（x）=x²+3＞0，
假設(shè)對(duì)任意x∈R，都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立，
∴mx+m+4＜f（x）即x²+3＞mx+m+4恒成立．
即x²-mx-m-1＞0恒成立，
即△=m²+4（m+1）＜0，
但與△≥0矛盾，
故假不成立．
即對(duì)任意x∈R，不都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．