Question

19．已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求M的軌跡方程；
（2）當(dāng)|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{OM}$|時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，由此能求出圓心為C（0，4），半徑為4，設(shè)M（x，y），求出向量CM，MP的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理求出M的軌跡方程；
（2）由（1）知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程．

解答 解：（1）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，
所以圓心為C（0，4），半徑為4，
設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，
即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
（2）由（1）可知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．
由于|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{OM}$|，故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因?yàn)镺N的斜率為3，
所以l的斜率為-$\frac{1}{3}$，
故l的方程為y-2=-$\frac{1}{3}$（x-2），即為x+3y-8=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的方程和性質(zhì)的合理運(yùn)用．