Question

4．已知sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）求cosα及cos2α；
（2）求$\frac{2cos（\frac{π}{2}+α）+cos（π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）+3sin（π+α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解即可，結(jié)合二倍角公式求解cos2α；
（2）根據(jù)根據(jù)（1），得tanα=2，然后，化簡得到$\frac{2cos（\frac{π}{2}+α）+cos（π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）+3sin（π+α）}$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$，從而求解即可．

解答 解：（1）∵sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴cosα=$-\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cos2α=1-2sin²α=1-2×$\frac{4}{5}$=-$\frac{3}{5}$，
（2）根據(jù)（1），得tanα=2，
∴$\frac{2cos（\frac{π}{2}+α）+cos（π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）+3sin（π+α）}$
=$\frac{-2sinα-cosα}{cosα-3sinα}$
=$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$
=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$
=$\frac{2+1}{2-1}=3$．

點評 本題重點考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式等知識，屬于中檔題．