Question

20．4年一屆的歐洲杯的關(guān)注度是僅次于世界杯的第二大足球賽事，2016年歐洲杯于2016年6月10日至7月10日在法國境內(nèi)9座城市的12座球場內(nèi)舉行，共24支國家隊(duì)參賽，比賽第一階段是小組賽，每個(gè)小組4支國家隊(duì)，組內(nèi)任兩只球隊(duì)之間需進(jìn)行一場較量，采取積分制，獲勝一場3分，打平一場1分，輸一場0分，每個(gè)小組根據(jù)積分取得資格進(jìn)入下一階段比賽-淘汰賽．
（1）在小組賽階段，若東道主法國隊(duì)在所處的A組中，打勝一場概率為$\frac{1}{2}$，打平一場概率為$\frac{1}{3}$，輸一場概率為$\frac{1}{6}$，每場比賽輸贏互不影響；那么小組賽結(jié)束后，法國隊(duì)積分為3分的概率；
（2）在淘汰賽階段，每一場比賽必分輸贏，當(dāng)出現(xiàn)平局時(shí)采用點(diǎn)球的方式?jīng)Q出勝負(fù)；若德國門將諾伊爾撲出點(diǎn)球的成功率為$\frac{1}{3}$，在5次點(diǎn)球中，求他撲出的點(diǎn)球個(gè)數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由題意，X～B（5，$\frac{1}{3}$），求出相應(yīng)的概率，即可求他撲出的點(diǎn)球個(gè)數(shù)X的分布列與期望．

解答 解：（1）當(dāng)法國隊(duì)勝一場，輸2場時(shí)，P=C₃¹×$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$；
當(dāng)法國隊(duì)打平3場時(shí)，P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{27}$．
∴法國隊(duì)積分為3分的概率=$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{27}$=$\frac{17}{216}$；
（2）由題意，X～B（5，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{32}{243}$，
P（X=1）=C₅¹×$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{80}{243}$，
P（X=2）=C₅²×（$\frac{1}{3}$）²×（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{80}{243}$，
P（X=3）=C₅³×（$\frac{1}{3}$）³×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{40}{243}$，
P（X=4）=C₅⁴×（$\frac{1}{3}$）⁴×（$\frac{2}{3}$）=$\frac{10}{243}$，
P（X=5）=C₅⁵×（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$，
X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

EX=0×$\frac{32}{243}$+1×$\frac{80}{243}$+2×$\frac{80}{243}$+3×$\frac{40}{243}$+4×$\frac{10}{243}$+5×$\frac{1}{243}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，期望的求法，互斥事件概率公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．