【題目】設(shè)函數(shù)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x﹣2=0垂直,求f(x)的單調(diào)區(qū)間(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)若對(duì)任意x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,求k的取值范圍.

【答案】
(1)解:由 ,知x>0,且 ,

因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x=2垂直,所以f'(e)=0,

所以 ,得k=e,

所以 ,

令f'(x)<0,得0<x<e,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減;

令f'(x)>0,得x>e,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,

綜上,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,e),單調(diào)增區(qū)間為(e,+∞).


(2)解:因?yàn)閤1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,

則有f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2,對(duì)x1>x2>0恒成立,(7分)

,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,

所以 在(0,+∞)上恒成立,

所以 恒成立,

,則

所以k的取值范圍是


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合切線方程求出k的值,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為 恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求證:平面

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(1)的值;

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(1)求證

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下表是1950―1959年我國(guó)人口數(shù)據(jù)資料:

如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率,用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型,某同學(xué)利用圖形計(jì)算器進(jìn)行了如下探究:

由此可得到我國(guó)1950―1959年我國(guó)這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型為____________. (精確到0.001)

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