Question

16．已知f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+a，若?x₀∈[1，4]，使f（x₀）=2a成立，則a的范圍是[2，16]．

Answer 1

分析 利用導數(shù)求出f（x）在x∈[1，4]上的最大與最小值，由f（x₀）=2a得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2+a≤2a}\\{2a≤16+a}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，解得x∈（-∞，1）∪（2，+∞）；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞）；
令f′（x）＜0，解得x∈（1，2），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
又x∈[1，4]，∴f（x）在（1，2）上是單調(diào)減函數(shù)，在（2，4）上是單調(diào)增函數(shù)；
∴f（x）在[1，4]上的最小值為f（2）=8-$\frac{9}{2}$×4+12+a=2+a，最大值為max{f（1），f（4）}=16+a；
又?x₀∈[1，4]，使f（x₀）=2a成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+a≤2a}\\{2a≤16+a}\end{array}\right.$，解得2≤a≤16．
∴a的范圍是[2，16]．
故答案為：[2，16]．

點評 本題考查了利用導數(shù)求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應用問題，是綜合性題目．