Question

3．某企業(yè)對(duì)其生產(chǎn)的一批產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，得出每件產(chǎn)品中某種物質(zhì)含量（單位：克）的頻率分布直方圖如圖所示．
（I）估計(jì)產(chǎn)品中該物質(zhì)含量的平均數(shù)及方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（Ⅱ）規(guī)定產(chǎn)品的級(jí)別如表：

產(chǎn)品級(jí)別	C	B	A
某押麴質(zhì)含量范圍	[60，70）	[70，80）	[80，100]

現(xiàn)質(zhì)檢部門從三個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品中采用分層抽樣的方式抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)闹须S機(jī)抽取3件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，記質(zhì)檢部門“抽到B或C級(jí)品的個(gè)數(shù)為ξ”，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布直方圖能估計(jì)產(chǎn)品中該物質(zhì)含量的平均數(shù)及方差．
（Ⅱ）按分層抽樣的方法，所抽出的A級(jí)品為7件，B和C級(jí)品共3件，根據(jù)題意ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）平均數(shù)$\overline{x}$=65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84，
方差S²=（65-84）²×0.1+（75-84）²×0.2+（85-84）²×0.4+（95-84）²×0.3=89．
（Ⅱ）按分層抽樣的方法，從A級(jí)品中抽取n₁=10×0.7=7件，
從B級(jí)品中抽取n₂=10×0.2=2件，
從C級(jí)品中抽取n₃=10×0.1=1件，
∴所抽出的A級(jí)品為7件，B和C級(jí)品共3件，
根據(jù)題意ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

Eξ=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)量、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)，考查分類與整合思想、或然與必然思想等．