Question

19．已知雙曲線的焦點在y軸上，且焦距為2$\sqrt{3}$，焦點到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，則雙曲線的標準方程為（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• C． y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1

Answer 1

分析 設出雙曲線的方程，利用雙曲線的焦距為2$\sqrt{3}$，焦點到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，列出方程組，求出幾何量，即可得出雙曲線的標準方程．

解答 解：由題意，設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0），其上焦點為（0，c），一條漸近線為y=$\frac{a}$x．
∵焦距為2$\sqrt{3}$，焦點到一條漸近線的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴a=1，
∴雙曲線的標準方程為${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，考查學生的計算能力，正確理解雙曲線的幾何性質(zhì)是關(guān)鍵．