Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）討論f（x）=e^x-ax-1（a∈R）的單調(diào)性；
（2）若a=1，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（-x）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），分a≤0，a＞0兩種情況討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x-

1

ex

-2x，利用導(dǎo)數(shù)可證明g（x）≥0．

解答： （1）解：f′（x）=e^x-a．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，得x＞lna；令f′（x）＜0，得x＜lna．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，增區(qū)間是（lna，+∞），減區(qū)間是（-∞，lna）．
（2）證明：令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x-

1

ex

-2x，
則g′（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，∴g（x）≥g（0）=0，
∴f（x）≥f（-x）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想，證明（2）問(wèn)的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題．