Question

8．已知曲線C：y²=2px（p＞0）過定點(diǎn)（1，1），點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的圓M：（x-t）²+y²=1（t＞1）的切線l₁，l₂分別交曲線C于另外兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若t=$\sqrt{2}$，點(diǎn)P為原點(diǎn)，判斷直線AB與圓的位置關(guān)系；
（Ⅲ）對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)P，是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線AB與圓相切？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將點(diǎn)（1，1）代入，即可求得p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）若t=$\sqrt{2}$，點(diǎn)P為原點(diǎn)，設(shè)切線方程為y=kx，由直線和圓相切的條件，可得k，再代入拋物線方程，求得A，B的坐標(biāo)，求得AB的方程，由直線和圓位置關(guān)系的判斷，即可得到；
（Ⅲ）取P（0，0），圓（x-t）²+y²=1（t＞1），切線為y=kx，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求得k，再將直線方程代入拋物線方程，解得A，B，由AB的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合相切的條件可得t=2，再對(duì)t=2，任意的P，直線AB和圓相切，證明即可．

解答 解：（Ⅰ）曲線C：y²=2px（p＞0）過定點(diǎn)（1，1），
即有1=2p，解得p=$\frac{1}{2}$，
則曲線C的方程為y²=x；
（Ⅱ）若t=$\sqrt{2}$，點(diǎn)P為原點(diǎn)，則圓為（x-$\sqrt{2}$）²+y²=1，
設(shè)切線方程為y=kx，
由$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±1，
即有切線方程為y=±x，
代入拋物線方程可得A（1，1），B（1，-1），
由圓心（$\sqrt{2}$，0）到直線x=1的距離為$\sqrt{2}$-1＜1，
即有直線AB和圓相交；
（Ⅲ）取P（0，0），圓（x-t）²+y²=1（t＞1），切線為y=kx，
由$\frac{|kt|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，①
將直線y=±kx代入拋物線方程y²=x，
解得A（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），B（$\frac{1}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}$），
直線AB的方程為x=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
若直線和圓相切，可得$\frac{1}{{k}^{2}}$=1+t②
由①②解得t=2或-1（舍去）．
綜上可得，對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)P，直線AB與圓相切，必有t=2．
下證t=2時(shí)，對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)P，直線AB和圓相切．
理由如下：設(shè)P（a²，a），l：x=m（y-a）+a²，A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），
由$\frac{|2+ma-{a}^{2}|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，可得（a²-1）m²-2（a²-2）am+（a²-2）²-1=0，
m₁+m₂=$\frac{2（{a}^{2}-2）a}{{a}^{2}-1}$，m₁m₂=$\frac{（{a}^{2}-2）^{2}-1}{{a}^{2}-1}$，
又直線與曲線相交于A，B，
由x=m（y-a）+a²，代入拋物線方程y²-my+ma-a²=0，
y₁²=m₁（y₁-a）+a²，y₂²=m₂（y₂-a）+a²，
則a，y₁是方程y²=m₁（y-a）+a²的兩根，
即有ay₁=am₁-a²，即為y₁=m₁-a，同理y₂=m₂-a．
則有A（（m₁-a）²，m₁-a），B（（m₂-a）²，m₂-a），
直線AB：y-（m₁-a）=$\frac{1}{{m}_{1}+{m}_{2}-2a}$（x-（m₁-a）²），
即為y-（m₁-a）=$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$（x-（m₁-a）²），
則圓心（2，0）到直線AB的距離為d=$\frac{|\frac{4a}{1-{a}^{2}}+{m}_{1}-a-\frac{2a}{1-{a}^{2}}（{m}_{1}-a）^{2}|}{\sqrt{1+（\frac{2a}{1-{a}^{2}}）^{2}}}$，
由（a²-1）m₁²-2（a²-2）am₁+（a²-2）²-1=0，
代入上式，化簡(jiǎn)可得d=$\frac{|{a}^{2}+1|}{{a}^{2}+1}$=1，
則有對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t=2，使得直線AB與圓相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系：相切的條件，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．