Question

15．定義一種運算a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，令f（x）=（3x²+6x）?（2x+3-x²），則函數(shù)f（x）的最大值是4．

Answer 1

分析 運用分段函數(shù)的形式，求得f（x）的解析式，分別求得f（x）在兩段上的最大值，注意運用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系．

解答 解：∵a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，
∴f（x）=（3x²+6x）?（2x+3-x²）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+6x，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{2x+3-{x}^{2}，x＞\frac{1}{2}或x＜-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=3x²+6x=3（x+1）²-3，
可得f（x）在x=-1處取得最小值-3；在x=$\frac{1}{2}$處取得最大值$\frac{15}{4}$；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{3}{2}$時，f（x）=-x2+2x+3=-（x-1）²+4，
當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值4．
綜上可得，f（x）的最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查了函數(shù)的最值的求法，注意運用新定義，以及二次不等式的解法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，屬于中檔題．