Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，且函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）＝，求其導函數(shù)，利用F（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，得≥0在（0，+∞）上恒成立，得，設(shè)，利用導數(shù)求最大值可得正實數(shù)p的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)＝f（x）﹣g（x）＝px﹣，x∈[1，e]，轉(zhuǎn)化為 在[1，e]上至少存在一點x0，使得求函數(shù)的導函數(shù)，然后對p分類求 的最大值即可.

（1），.

由定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以在上恒成立，

所以即，對任意恒成立，

設(shè)，=0的根為x=1

得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則，所以，即.

（2）設(shè)函數(shù)，，

因為在上至少存在一點，使得成立，則

，

①當時，，則在上單調(diào)遞增，，舍；

②當時，，

∵，∴，，，則，舍；

③當時，，

則在上單調(diào)遞增，，得，

綜上，.