Question

19．一批產(chǎn)品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方式從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)：
方式一：一次性隨機(jī)抽取2件；
方式二：先隨機(jī)抽取1件，放回后再隨機(jī)抽取1件；
記抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為ξ．
（1）分別求兩種抽取方式下ξ的概率分布；
（2）比較兩種抽取方式抽到的不合格品平均數(shù)的大小？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）方式一中隨機(jī)變量ξ可取的值為0，1，2，且ξ服從超幾何分布ξ～H（2，3，10），計(jì)算對應(yīng)的概率；列出頻率分布表；方式二中隨機(jī)變量ξ可取的值為0，1，2，且ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（2，$\frac{3}{10}$），計(jì)算對應(yīng)的概率；列出頻率分布表；
（2）計(jì)算方式一與方式二中的數(shù)學(xué)期望（平均數(shù)），比較結(jié)果即可．

解答 解：（1）方式一中隨機(jī)變量ξ可取的值為0，1，2，且ξ服從超幾何分布，ξ～H（2，3，10），
于是P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{•C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{15}$；P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{15}$；P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$；
因此ξ的頻率分布可表示為下表：

ξ	0	1	2
P	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{1}{15}$

方式二中隨機(jī)變量ξ可取的值為0，1，2，且ξ服從二項(xiàng)分布，ξ～B（2，$\frac{3}{10}$），于是P（ξ=0）=${C}_{2}^{0}$•${（\frac{3}{10}）}^{0}$•${（\frac{7}{10}）}^{2}$=$\frac{49}{100}$；P（ξ=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{10}$•$\frac{7}{10}$=$\frac{21}{50}$；P（ξ=2）=${C}_{2}^{2}$•${（\frac{3}{10}）}^{2}$•${（\frac{7}{10}）}^{0}$；
因此ξ的頻率分布可表示為下表：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{9}{100}$

（2）由（1）知，方式一中ξ的數(shù)學(xué)期望（平均數(shù)）為E（ξ）=0×$\frac{7}{15}$+1×$\frac{7}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{3}{5}$，
方式二中ξ的數(shù)學(xué)期望（平均數(shù)）為E（ξ）=2×$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{5}$，
所以，兩種方式抽到的不合格品平均數(shù)相等．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，是中檔題目．