Question

14．在等差數(shù)列{a_n}中，a₉=$\frac{1}{2}$a₁₂+6，a₂=4，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10項(xiàng)和為（　　）

• A． $\frac{11}{12}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₉=$\frac{1}{2}$a₁₂+6，a₂=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+8d=\frac{1}{2}（{a}_{1}+11d）+6}\\{{a}_{1}+d=4}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2．
∴S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前10項(xiàng)和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．