分析 (1)函數(shù)y=f(x)=x+$\frac{4}{x}$在[2,+∞)上單調(diào)遞增,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷符號(hào)即可得到結(jié)論;
(2)討論x=1時(shí),顯然成立;當(dāng)x>1時(shí),可得a≤$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$,求得右邊函數(shù)的最小值,運(yùn)用基本不等式即可得到.
解答 解:(1)函數(shù)y=f(x)=x+$\frac{4}{x}$在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
理由:f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{(x-2)(x+2)}{{x}^{2}}$,
由x≥2,可得f′(x)≥0,即有y=f(x)在[2,+∞)上遞增;
(2)不等式f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立,
當(dāng)x=1時(shí),f(1)=1+a,g(1)=a-2,f(1)>g(1)顯然成立;
當(dāng)x>1時(shí),可得a≤$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$,
由$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$=3[(x-1)+$\frac{1}{x-1}$+2]≥3[2$\sqrt{(x-1)•\frac{1}{x-1}}$+2]=12,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),取得最小值12,
即有a≤12.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,12].
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{11}{12}$ | B. | $\frac{10}{11}$ | C. | $\frac{9}{10}$ | D. | $\frac{8}{9}$ |
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A. | A | B. | ∅ | C. | B | D. | {-2,-1,0,2} |
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