Question

7．已知f（x）=ln（e^x+a）是定義域為R的奇函數(shù)，g（x）=λf（x）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若g（x）≤x²+2x+4在x∈（0，+∞）時恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ln（e^x+a）是定義域為R的奇函數(shù)，可得f（0）=0，進而得到a值；
（2）若g（x）≤x²+2x+4在x∈（0，+∞）時恒成立，則λ≤$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2，結(jié)合基本不等式可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=ln（1+a）=0．
∴a=0，…4分
經(jīng)檢驗a=0符合題意；           …5分
（2）由（1）得：f（x）=lne^x=x，
∴g（x）=λf（x）=λx                …6分
∵g（x）≤x²+2x+4在x∈（0，+∞）時恒成立
∴λ≤$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2≥6…10分
（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{4}{x}$，即x=2取得最小值）…11分
∴λ≤6               …12分．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，基本不等式，難度中檔．