Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|-2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若對任意的實數(shù)x，都有f（x）-2a²≥|x|-3a-2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，|2x+1|-2|x|≥2a²-3a 恒成立，利用絕對值三角不等式可得 2a²-3a≤1，由此解得a的范圍．

解答 解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|-|x|-2≥0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（-x）-2≥0}\end{array}\right.$①，或  $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜0}\\{2x+1-（-x）-2≥0}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x+1-x-2≥0}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-3；解②求得x∈∅，解③求得 x≥1．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x≤-3，或  x≥1}．
（2）若對任意的實數(shù)x，都有f（x）-2a²≥|x|-3a-2，則|2x+1|-2|x|≥2a²-3a 恒成立．
又∵|2x+1|-2|x|≤|2x+1-2x|=1，∴2a²-3a≤1，解得$\frac{1}{2}$≤a≤1，
即實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．