在數(shù)列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達式，并加以證明；
(Ⅱ) 設(shè)，求證：對任意的自然數(shù)，都有；

（1），， 利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）---（9分）
所以所以只需要證明
（顯然成立）

解析試題分析：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
顯然當時，結(jié)論成立，-----------------（3分）
假設(shè)當；時（也可以），結(jié)論也成立，即
，--------------------------（4分）
那么當時，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：
   （6分）
即當時，結(jié)論也成立，綜上，對,成立。 （7分）
（2）---（9分）
所以
------（11分）
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對任意的自然數(shù)，都有    （14分）
考點：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的運用
點評：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時首先要驗證時成立,注意不一定為1;
(2)在第二步中,關(guān)鍵是要正確合理地運用歸納假設(shè),尤其要弄清由k到k+1時命題的變化

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列，滿足：．
（1）若，求數(shù)列的通項公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在數(shù)列中，
（Ⅰ）求數(shù)列的前項和；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求實數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

觀察下列三角形數(shù)表

記第行的第m個數(shù)為 ．
（Ⅰ）分別寫出，，值的大��；
（Ⅱ）歸納出的關(guān)系式，并求出關(guān)于n的函數(shù)表達式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當，時，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知為等比數(shù)列，；為等差數(shù)列的前n項和，.
（1） 求和的通項公式；
（2） 設(shè)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列
（1）求及；
（2）猜想的通項公式，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項和為滿足：(為常數(shù)，且)
（1）若，求數(shù)列的通項公式
（2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值.
（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)，數(shù)列前項和為，求證

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分13分)
已知數(shù)列{an}的首項a1=" t" >0，，n=1，2，……
(1)若t =，求是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
(2)若對一切都成立，求t的取值范圍.

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