Question

1．給出下列敘述：
①若sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，則cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$；
②若α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，則tanα=-$\frac{4}{3}$；
③不等式tanα≥$\sqrt{3}$的解集為[$\frac{π}{3}$，+∞）；
④函數(shù)f（x）=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$）（k∈Z）．
其中所有正確敘述的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 ①由誘導(dǎo)公式和整體思想可得；
②由題意結(jié)合sin²α+cos²α=1可解得sinα=$\frac{4}{5}$且cosα=-$\frac{3}{5}$，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
③不等式tanα≥$\sqrt{3}$的解集應(yīng)為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{2}$）；
④解不等式kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：對(duì)于①，∵sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，∴sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=$\frac{1}{3}$，
由誘導(dǎo)公式和可得sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，故正確；
對(duì)于②，∵α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
結(jié)合sin²α+cos²α=1可解得sinα=$\frac{4}{5}$且cosα=-$\frac{3}{5}$，
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，故正確；
對(duì)于③，不等式tanα≥$\sqrt{3}$的解集應(yīng)為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z，故錯(cuò)誤；
對(duì)于④，解不等式kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$可得-$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$＜x＜$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$）（k∈Z），故正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式，涉及三角函數(shù)的基本公式，屬中檔題．