Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，2cosx），記f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量數(shù)量積的坐標表示化簡求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進一步求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=2cos²x+2sinxcosx-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x$+\frac{π}{4}∈$[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]．
∴$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$∈[1，$\sqrt{2}$]．
即函數(shù)y=f（x）的值域為[1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了三角函數(shù)值域的求法，是基礎(chǔ)題．